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Théorie des moteurs PAP

Pour ceux qui sont allergiques à la théorie aller directement au chapitre 6


Table des matières:

1) Généralités.
2) Diagramme vectoriel.
3) Bobines en court-circuit.
4) Alimentation du moteur.
5) Considération pratique sur l'alimentation.
6) Comment déterminer la caractéristique couple =F(vitesse) de votre moteur PAP.

1. Généralités.


Rappelons que pour un moteur pap on a le nombre de paires de pôles p=90/step avec step le nombre de degré par pas. Par exemple pour un moteur de 1,8°/pas, p= 90°/1,8°= 50. Il faut 50 sinusoïdes pour faire tourner ce moteur d’un tour (soit 50*4 = 200 pas en mode pas entier ) .

Lorsque le moteur est alimenté par la tension alternative U(ω), le courant dans les enroulements statoriques crée un champ tournant statorique comportant p paires de pôles qui entraîne le rotor à la vitesse Ω=ω/p . La rotation des dents du rotor, entraîne des variations du flux produit par l’aimant permanent (Variation de reluctance au niveau des dents) entre les dents statoriques et rotoriques. Par construction, ces variations de flux sont sinusoïdales, et se comportent comme une roue polaire comportant également p paires de pôles. Les 2 champs ainsi produits tournent dans le même sens à la vitesse angulaire mécanique . Les deux roues polaires comportent chacunes p dents ayant un pôle nord et p dents ayant un pôle sud, chaque dent étant successivement nord puis sud.

Toutes les dents nord du champ produit par le stator attirent les dents sud rotor. De même entre les dents sud du stator avec les dents nord du rotor. Ces forces, tout autour du rotor produisent un couple qui entraîne ce dernier à la vitesse du champ tournant. Le champ statorique est donc le champ entraînant et le champ rotorique le champ entraîné. Le couple développé est fonction de l’angle formé entre les 2 champs. Pour un angle de 0 degré (Pôle N d’un champ en face du pôle S de l’autre, le couple est nul (forces tangentielles =0).

Lorsqu’on développe un couple résistant sur le rotor, celui-ci tend à ralentir et la roue polaire rotorique prend donc un angle de retard sur le champ statorique entraînant. L’angle de retard introduit produit sur chaque dent des forces tangentielles produisant un couple moteur. Lorsque le retard sera tel que les forces tangentielles développent un couple moteur égal au couple résistant, le couple total sera nul, donc la vitesse sera à nouveau constante, le rotor restera alors décalé dans une position stable par rapport au champ statorique.

Soit Ψ l’angle de retard entre les champs tournants. Considérons un autre angle appelé angle électrique φ tel que Ψ= φ/p. Si on reprend l’exemple ci-dessus ou p=50, lorsque le courant sinusoïdal développe 1 sinusoïde, c’est-à-dire tourne de 360 degrés électriques, le rotor tourne d’un angle mécanique de 360°/p (il faut p sinusoïdes pour faire un tour). Si on raisonne en degré électrique pour ce qui concerne les retards entre les champs on obtient une méthode plus universelle pour comprendre ce qui suit (par exemple un retard de 1,8 degré mécanique pour un moteur de p= 50 paires de pôles, c’est-à-dire avec un angle entre paires de pôle de 360°/50 =7,2° donne un retard de ¼ de l’angle entre 2 paires de pôles.
Si on se rapporte au degré électrique on aura φ=1,8°*50 =90°.

Revenons au couple moteur développé lorsque le rotor se décale en arrière par rapport au champ statorique de Ψ degré mécanique, c’est-à-dire de φ=pΨ degré électrique, le couple développé par le moteur vaut: C=2kIsin(ψ) (voir démonstation au chapitre suivant). Par exemple pour un courant alternatif constant dans les bobines du stator,le couple sera proportionnel à sin(ψ). Le couple augmentera avec le retard jusqu’à atteindre un maximum lorsque le retard atteint 90 degrés, c’est-à-dire lorsque par exemple une dent statorique nord se trouve à égale distance entre la dent statorique sud qui l’attire et la dent nord qui la repousse (¼ de l’angle Ψ entre 2 dents de même pôle). Si le couple résistant augmente encore on dépasse 90° et le couple moteur diminue. Le moteur décroche brusquement et s’arrête. Attention nous verrons qu’en mode d’alimentation à tension constante, on pourra dépasser 90°, car on pourra avoir C=kIsin(ψ) I qui augmente plus vite que sin(ψ) ne diminue.

2. Diagramme vectoriel.


Dans la théorie qui suit on considère que les tensions et courants on une forme sinusoïdale et que leur mesures sont en valeur efficace Lorsque le moteur tourne, les variations de flux dues au champ tournant rotorique provoque dans les bobines statoriques une FEM Ev de forme sinusoïdale (par construction) de même fréquence que le courant de la source et proportionnelle à cette fréquence : soit Ev= Kω. Cette FEM efficace (que l’on peut observer avec un oscilloscope ou un voltmètre en faisant tourner simplement le moteur à la main) est la manifestation de la transformation d'énergie électrique en énergie mécanique.
De plus les variations de courant dans l’inductance L propre des bobines statoriques produisent une tension déphasée de 90° en avant sur ce courant.Enfin la résistance R des bobines provoque une chute de tension RI en phase avec I.
On peut tracer le diagramme vectoriel du moteur :
fig1.gif
Dans ce diagramme général, le courant est déphasé d’un angle quelconque.
Soit φ l’angle de déphasage entre Ev et I. Négligeons dans un premier temps RI devant ωLI car généralement R << ωL (nous y reviendrons plus tard).
On aura le diagramme suivant :
fig2.gif
Dans ce diagramme on représente la position des champs tournants statoriques et rotoriques avec les angles électriques. C’est également la représentation de leurs positions mécaniques pour un moteur à une paire de pôle.
Le champ statorique produit par le courant est en phase avec celui-ci. Le champ rotorique est en position telle qu’il se trouve déphasé de 90° en arrière sur la FEM Ev que ce champ produit (c’est la variation du flux du champ rotorique qui produit Ev , et qui dit variation dit dérivée, donc déphasage de 90°). On voit bien que le champ tournant statorique entraîne le rotor, l’angle de retard entre les pôles ψ valant ψ=90-φ.

La puissance active transformée en puissance mécanique a pour expression :

P = 2 Ev.I.cos(φ) : (multiplié par 2 car il y a 2 bobines,Ev et I sont les valeurs efficaces.)
Or Ev = Kω
Donc :P = 2.K.ωIcos(φ) (1)

En supposant que l’inductance L est constante on voit que le vecteur AB = LωIcos(φ) peut s’écrire en remplaçant ωIcos(φ) par P/2K : AB= P/2K.
AB est donc une image de la puissance mécanique théorique développée par le moteur. Or la puissance mécanique d’un moteur est P=ΩC (2) , C étant le couple du moteur et sa vitesse angulaire.

Donc ΩC = 2KIωcos(φ). Or Ω=ω/p
D’où ωC/p = 2KIωcos(φ) : C= 2pKIcos(φ) (2)
Or cos(φ) = sin(90°-φ) et d’après la figure 2 : ψ=90°-φ
On démontre donc que le couple C= 2pKIsin(ψ) est bien proportionnel à Isin(ψ).

Supposons que les bobines du stator soient alimentées à courant constant. Dans ce cas le couple moteur est alors proportionnel à sin(ψ). Lorsque le moteur est soumis à une augmentation du couple résistant, le rotor tend à diminuer de vitesse et donc de prendre plus de retard sur le champ tournant statorique. Ce retard augmente naturellement l’angle ψ, et si ψ <90° le couple moteur augmente également. Le couple moteur s’adapte donc bien au couple résistant tant que l’angle de retard est plus petit que 90 degrés. Si l’angle dépasse 90° le couple moteur diminue et le moteur décroche.

Le couple maximum théorique disponible est atteint lorsque ψ=90° donc quand φ=0°. Attention ceci est vrai uniquement dans le cas ou on suppose le courant constant. Dans le cas général ou le courant peut naturellement changer (par exemple une alimentation à tension constante) on peut dépasser 90° tant que Isin(ψ) augmente ( I augmente plus vite que sin(ψ) ne diminue).
Par la suite nous raisonnerons sur l’angle électrique φ plutôt que sur l’angle ψ . Le couple fourni sera d’autant plus grand que I et cos(φ) est grand , donc que I est élevé et φ petit.

3. Bobines en court-circuit.


fig2b.gif
Court-circuitons les 2 bobines du moteur et faisons tourner le moteur. La FEM induite produit dans chaque bobine un courant sinusoïdal Icc. Le diagramme vectoriel est un cas particulier de la figure 2 ou la tension U est égale à zéro.
fig3.gif
Le champs statorique produit par le courant de court circuit est en opposition avec le champ inducteur rotorique. La puissance est nulle.
On a : Kω=ωLIcc d’où Icc= K/L (3) Le courant de court-circuit est indépendant de la vitesse de rotation. En réalité les résistances des bobines traversées par le courant Icc sont le siège d’un effet joule. Il en résulte un déphasage légèrement inférieur à 90° et un couple résistant . De plus le courant devient indépendant de la vitesse pour une vitesse tel que la chute de tension RIcc soit négligeable devant les FEMs et ωLIcc.(ce qui se produit pour des vitesses relativement faibles).
On peut remarquer également que la puissance dissipée devient également constante quelle que soit la vitesse, ce qui fait que la puissance à fournir au moteur est également pratiquement constante. Ceci à pour conséquence que le couple résistant nécessaire pour faire tourner le moteur devient d’autant plus faible que la vitesse est élevée. (C=P/Ω).

4. Alimentation du moteur.


On alimente le moteur pap avec un système de tensions sinusoïdales biphasées (2 tensions à 90°) dont la fréquence varie en fonction de la vitesse demandée. La tension de la source Ua est constante tant que le courant fourni n’atteint pas un courant Ia donné. Dans le cas ou le courant devrait dépasser Ia la tension s’ajuste (en diminuant) pour maintenir le courant Ia constant. On passe alors en mode « courant constant ».
fig4.gif
Soit Ua et Ia la tension et le courant efficacescaractérisant les limites de la source. Pour faire tourner le moteur à une vitesse angulaire Ω rad/sec, la fréquence de la source F doit être telle que la vitesse angulaire électrique ω=pΩ, avec p le nombre de paires de pôle du moteur et ω=2ηF.
Si on augmente la vitesse du moteur en augmentant le ω de la source on passe par 3 modes de fonctionnement:

o Pour ω faible: mode courant constant (et on verra plus tard couple disponible maximum constant)
o Pour ω élevé: mode puissance constante.
o Entre les 2 on passe d’un mode à l’autre.

Nous étudierons le comportement du moteur dans ces 3 modes pour connaître en définitive le couple disponible maximum en fonction de la vitesse du moteur. Pour les vitesses faibles la FEM Ev du moteur est faible donc le courant I tend à être élevé (voir diagramme vectoriel de la figure 2).
La source limite ce courant à la valeur Ia , et la tension U s’ajuste pour répondre au diagramme vectoriel. Posons Ω0 et ω0 la vitesse angulaire mécanique et électrique maximum ou le moteur reste en mode courant constant. A partir d’une certaine vitesse plus grandes Ω1 (ω1) le courant devient plus petit que Ia , et c'est la tension Ua qui limite les performances du moteur . Nous verrons qu’à partir et au delà de cette vitesse le moteur développe une puissance théorique maximale constante.
Entre ω0 et ω1 le moteur peut développer une puissance et un couple maximum limité à la fois par Ia et Ua (on est au point A sur la figure 4).

a. Vitesse plus petite que ω0 – Couple disponible constant.

Les figures 5 reprennent les modes de fonctionnement possible lorsque ω est suffisamment faible pour que le la somme vectorielle de la FEM Kω et ωLIa est plus petite que la tension Ua d’alimentation. Dans ce cas l’alimentation fourni un courant limité constant Ia dans les bobines du moteur, et une tension U qui varie avec la vitesse du moteur.
La figure 5-1 correspond au cas général ou on a un couple résistant constant (ωLIa constant) et deux vitesses ω. On se maintiendra dans ce fonctionnement tant que U sera plus petit que Ua.
fig5.gif
Calculons le couple Co dans cette zone de fonctionnement :
Nous savons que P = 2.K.ωIcos(φ) et C= 2pKIcos(φ).( C= 2pKωIcos(φ)/(ω/p) )
Comme le courant est constant on disposera d’un couple maximum lorsque cos(φ) =1 (fig 5-2) : Co=2pKIa (4)
Le couple disponible est indépendant de la vitesse et directement proportionnel au courant Ia.
Il en résulte que la puissance fournie par le moteur est alors proportionnelle à sa vitesse.
On atteindra la puissance maximum dans ce mode de courant constant lorsque l’on aura atteint la tension U=Ua (au-delà on n’est plus en régime courant constant). Cette tension sera atteinte pour une vitesse électrique ωo (figure 5-3).

b. Vitesse plus grande que ω1 – Puissance disponible constante.

Rappellons que P = 2.K.ωIcos(φ) (1) et C= 2pKIcos(φ) (2)
(1) permet d’écrire ωIcos(φ) = P/2K
On peut également écrire : CωL =2pKωLIcos(φ) et ωLIcos(φ)=CωL/2pK
Dans ce mode de fonctionnement on travaille à une vitesse suffisante pour que le moteur reçoive la pleine tension de l’alimentation Ua. Lorsque le couple augmente le vecteur U=Ua tourne autours de O de façon à atteindre la position d’équilibre demandée par le couple, c'est-à-dire pour se positionner avec AB = ωLIcos(φ)=CωL/2pK.
On remarque que le courant est en avance sur sa FEM et que l’angle ψ dépasse 90°.(I augmente plus vite que cos(φ)ne diminue).
Les pôles statoriques et rotoriques de même nom se rapprochent de sorte que le flux total peut diminuer fortement par rapport au flux de l’ aimant permanent (rotor seul).
fig6.gif
Le couple maximum sera atteint lorsque le vecteur U atteint 90° par rapport à Ev.
On obtient alors le diagramme vectoriel de la figure 7.
fig7.gif
Calculons la puissance disponible P1 :
P = 2.K.ωIcos(φ) avec Ua=ωLIcos(φ)
Icos(φ) = Ua/ωL -> P1=2UaK/L
Or on sait que (3) Icc=K/L
Donc P1= 2UaIcc (5)

On voit que la puissance maximum disponible est indépendante de la vitesse du moteur et est directement proportionnelle à la tension d’alimentation du moteur et du courant de court-circuit. Il en résulte que le couple C=P/φ est inversement proportionnel à la vitesse du moteur.

c. Vitesse comprise entre ω0 et ω1

C’est le passage de la figure 5-3 à la figure 7.
fig8.gif
La figure 8 représente le mode de fonctionnement entre la vitesse ωo (Ωo) et ω1 (Ω1) lorsque l'on demande le couple maximum disponible. Entre ces 2 vitesses nous restons au point A (UaIa) de la figure 4.
La figure 8 représente 3 diagrammes vectoriels correspondant à 3 vitesses différentes du moteur, la vitesse minimum ωo , la vitesse maximum ω1 et une vitesse intermédiaire ω.
La vitesse ωo correspond à la fin de la page ou le couple disponible est maximum et constant avec une valeur C=2pKIa. Le triangle OAA’ est la représentation des vecteurs correspondant à ce fonctionnement. Le déphasage φ est nul. Lorsque la vitesse augmente les vecteurs Ev=Kω et ωLIa augmentent dans les mêmes proportions.
On peut donc à partir du triangle OAA’ tracer des triangles semblables tel que OBB’ et OCC’ ont des proportions correspondent au rapport entre les vitesses. Le lieu des fonctionnements à la vitesse ω se trouve alors à l’intersection de arcs de cercle de centre O et de rayon U et de l’arc de cercle de centre B’ et de rayon ωLIa = B’B. On atteint la vitesse ω1 lorsque le tracé correspondant positionne le vecteur Ua à 90° par rapport à Ev.
Si la vitesse augmente encore, l’extrémité du vecteur ωLI reste en E (ne passe pas à gauche de E) pour rester au couple disponible maximum. Ce qui veut dire que le courant diminue : I<Ia, on se trouve ainsi dans le mode à puissance constante décrit précédemment.
Remarque importante : Pour pouvoir atteindre la vitesse ω1, il faut que le vecteur soit plus petit que le vecteur ωLIa.
ωLIa >Kω
ou encore : Ia > K/L
or d’après (3) Icc=K/L donc : Ia>Icc

Dans le cas contraire on n’atteint pas la zone de puissance constante P1=2UaIcc
Nous allons maintenant déterminer toutes les formules du moteur. Posons α=Ia/Icc (6) le rapport entre Ia et le courant de court-circuit.
Pour avoir une représentation plus élégante du diagramme vectoriel de la figure 8, divisons tous les vecteurs tension par ωK on obtient ainsi la figure 9 ou un seul vecteur varie de dimension lorsque la vitesse varie.
E=ωK deviendra un vecteur unitaire.
Le vecteur ωLIa devient ωLIa/Kω = IaL/K = Ia/Icc = α (voir (3) et (6))
fig9.gif
Le triangle rouge permet de calculer ω1 : Ua/K ω1 = (α²-1)½
D’où ω1 = Ua/K(α²-1)½ (7)

Le triangle bleu permet de calculer ωo : Ua/K ωo = (α²+1)½

D’où ωo = Ua/K(α²+1)½ (8)

Calculons le rapport entre ω1 et ωo :

ω1/ωo =(α²+1)½/ (α²-1)½

Ce rapport est en dessous de 1,12 pour α>3 c-a-d au dessus de α=3 on peut confondre ωo avec ω1.
Il est de 1,29 pour α = 2 et passe à l’infini pour α=1 (on n’atteind pas ω1 quand Ia<= Icc).
Reprenons les formules (4) et (5)

On a démontré (4) qu’en ωo que Co=2pKIa
La puissance correspondante vaut : Po = Co Ωo avec Ωo=ωo/p (p=nombre de paire de poles)

D’où : Po= 2K Ia ωo
Et avec (8) Po= 2KIa.Ua/K(α²+1)½

Et enfin : Po= 2Ia.Ua/(α²+1)½ (9)

On a démonter en (5) qu’en ω1 que P1= 2Ua Icc

Le couple correspondant est alors C1= P1/Ω1 =P1 p/ω1
D’où C1= 2 Ua Icc p/ω1
Et avec (7) : C1= 2 Ua Icc p K(α²-1)½ /Ua

Et enfin : C1= 2 Icc p K(α²-1)½ (10)

Nous avons toutes les formules pour tracer les courbes théoriques d’un moteur pas à pas.
Attention: Po et C1 ne sont valable respectivement qu’en ωo et ω1
Co valable pour ω<=ωo et P1 valable pour ω >= ω1
fig18.gif
On peut écrire ces formules en fonction de Icc, sachant que α=Ia/Icc

fig19.gif
Si α >3, 1 est négligeable devant α² et on a les formules simplifiées suivantes avec ωo = ω1 = ωs, Co=C1=Cs, Po=P1=Ps

fig20.gif

5. Considération pratique sur l'alimentation.


Dans la théorie précédente, on disposait d'une alimentation alternative idéale. Dans la pratique les dispositifs modernes disposent d'une alimentation à découpage.
Cette alimentation est construite à partir d'une source de tension continue constante de valeur Ucc.
Le découpage moderne consiste à tenter de fournir, dans le meilleur des cas, un courant de forme sinusoidale aux bobines du moteur (mode bipolaire) à l'aide de la technique micro-pas.
Il en résulte que la forme du courant sera sinusoïdale tant que l'on sera à une vitesse inférieure à la vitesse Ωo. Au-delà de cette vitesse, le courant devenant inférieur à la valeur demandée, le découpage ne peut plus assurer le courant sinusoïdal demandé.
Le découpage devient intermitent, et le courant passe par une phase exponentielle d'autant plus longue que l'on augmente la vitesse. Le couple n'est plus constant, mais au contraire il subit des variations de fréquence 2F (F= fréquence du courant dans les bobines). C'est donc lorsqu'on dépasse Ωo que les risques de résonances mécaniques apparaissent dans une alimentation micro-pas.
En gros Les calculs du chapitre précédent restent valables, sauf qu'il faut déterminer Ua par rapport à la tension continue Ucc. Pour cela il suffit de prendre 1,27 Ucc puis de la diviser par 1,414 pour obtenir la valeur éfficace ( fondamentale de la série de Fourier 1,27 =4/3,14).(pour Ucc=24V on obtient 30/1,414= 21V)

6. Comment déterminer la caractéristique couple =F(vitesse) de votre moteur PAP.


La méthode de détermination est valable pour un moteur pap bipolaire (4 fils) ou pour un moteur unipolaire (6 fils) utilisé en mode bipolaire, donc en n’utilisant pas les 2 fils points milieux.
Le plus simple est d'utiliser le programme Excel-2003: Simulation Programme à télécharger.
Pour être convivial paramétrer l'écran en 1280*1024
Paramètre PPP = Taille normale:96ppp.
Vous trouverez dans sa page documentation toutes les informations nécessaires pour établir les performances théoriques d'un moteur pas à pas à partir de 2 essais très simples.
Ce programme permet de voir une série d'informations telles que :
-l'erreur de positionnement en fonction de la charge.
-l'ondulation de la puissance (donc du couple,source de résonance).
-la position des vecteurs tension-courant en fonction de la charge.
-les pertes à l'arrêt et en rotation.
-Le rendement du moteur.
...Et cela pour différents types de commande de pas (micro-pas, pas entier, demi pas etc).
Attention contrairement à la théorie précédente les valeurs courants, tensions et coefficient K sont calculés par rapport aux valeurs maximales (pas les valeurs efficaces). Ceci permet d'éliminer la multiplication par 2 dans les formules du couple et de la puissance.

De plus ceci généralise le fonctionnement pour des courants de formes quelconques. En particulier la tension maximale Ucc s'obtient à partir de Ua en faisant Ua = 1,27Ucc.



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